求数学期望
1、性质：∑（cx）=c∑x，c为常数。 数学期望E的运算公式和性质：公式：如果X、Y独立，则：E（XY）=E（X）*E（Y）。如果不独立，可以用定义计算：先求出X、Y的联合概率密度，再用定义。
2、开头来说确定三角函数的概率密度函数。例如，对于正弦函数sin（x），其概率密度函数为f（x） = 1/（2π），其中x的取值范围为[0， 2π]。 计算三角函数的数学期望。数学期望E（X）定义为E（X） = ∫xf（x）dx，其中x的取值范围为整个定义域。 将概率密度函数代入数学期望公式，进行积分计算。
3、数学期望的计算公式是：E（X） = ΣxP（x）。其中，E（X）表示数学期望，x表示随机变量的取值，P（x）表示随机变量取值x的概率。该公式适用于离散型随机变量的数学期望计算。对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E（X） = ∫xf（x）dx。其中，f（x）是随机变量的概率密度函数。
什么叫联合密度和边缘密度?
1、联合密度函数是指联合分布函数，定义：随机变量X和Y的联合分布函数是设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数：F（x，y） = P（X=x） 交 （Y=y）} = P（X=x， Y=y）称为二维随机变量（X，Y）的分布函数。
2、开门见山说，我们需要了解联合概率密度和边缘概率密度的概念。联合概率密度是指两个或多个随机变量同时取某一值的概率密度，而边缘概率密度则是指单个随机变量取某一值的概率密度。在推导条件概率密度公式时，我们需要利用这两个概念之间的关系。
3、联合密度函数是反映多维随机变量“随机性”的核心指标，有了它，该多维随机变量落在任何指定区域的概率均可计算。对二维随机变量（X，Y）而言，其边缘密度就是X的密度函数及Y的密度函数，能反映单个维度上的“随机性”。
4、边缘密度函数的意思是指边缘分布函数。联合密度函数用公式f（x，y）=fx（x）fy（y）求得。联合密度函数亦称多维分布函数，随机向量的分布函数，以二维情形为例，若（X，Y）是二维随机向量，x、y是任意两个实数，则称二元函数。
5、假设X，Y是两个随机变量，F（X，Y）是它们的联合分布函数，f（x，y）是它们的联合概率密度函数。同时设边缘概率密度函数分别为P（x），P（x）。
6、边缘密度函数fx等于f（x，y）对y进行积分得到的结局。而条件概率密度是在计算出边缘密度函数的基础上。含义 则X为连续型随机变量，称f（x）为X的概率密度函数，简称为概率密度。单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。
随机变量X的概率密度为f(x)=A/(e^-x+e^x),求X的分布函数
1、随机变量X的分布函数F（x）满足当x=+∞时，F（+∞）=1，即密度函数f（x）在定义域内的积分值为1，依据这一点可以将未知数A求出，进而求出分布函数。解第一步，求出A。A的值 第二步，求分布函数F（x）。
2、因此，Y = e^X的概率密度函数f_Y（y）是X的概率密度函数f_X（x）在x = ln（y）处的值除以y，对于y 0。具体的结局将取决于X的原始分布。例如，如果X服从标准正态分布N（0，1），那么可以将f_X（x）替换为标准正态分布的概率密度函数来计算f_Y（y）。
3、E（X）=（-1）*（1/8）+0*（1/2）+1*（1/8）+2*（1/4）=1/2，X^2 的分布列为x^2 0 1 4 P 1/2 1/4 1/4，因此 E（X^2） = 0*（1/2）+1*（1/4）+4*（1/4）=5/4，E（2X+3）=2E（X）+3=2*（1/2）+3=4。
4、举例来说，如果二维随机变量（X， Y）的概率密度函数是f（x， y） = 2e^（-2x-y），其中x 0， y 0，其他情况下为0。我们可以通过积分得到联合分布函数F（x， y），以及X和Y的边缘概率密度函数fX（x）和fY（y）。
常数的积分是什么呢?
设常数= a ， （X= 要积分的未知数），常数的积分 = aX。在微积分中，当我们对一个函数进行不定积分时，得到的结局通常包含一个任意常数C。这个常数表示该函数在积分后的无穷个原函数中的任意选择。 具体来说，设函数f（x）的不定积分为F（x），则有： ∫f（x）dx = F（x） + C 其中，C表示任意常数。
设常数= a ， （X= 要积分的未知数），常数的积分 = aX。在微积分中，当我们对一个函数进行不定积分时，得到的结局通常包含一个任意常数C。这个常数表示该函数在积分后的无穷个原函数中的任意选择。
简而言之，常数的积分是常数乘以自变量，并加上一个积分常数。
